우연히 지식인에서 숫자에 대한 좋은 정보글을 얻었다.
댓글로 퍼가겠다고 남겼지만 클레임이 들어온다면 지워야겠지...
숫자라는 것은 알 수록 참 신기하다.
참고로 그레이엄수는 G(3)부터 더 이상 줄줄이 나열하는 방식으로는 전부 쓰기에 어려움이 있다.
그럼 재미있게 읽으시길.
수를 나열하기에 앞서 두 가지 포함 기준을 적어둡니다.
1. 수학적인 의미가 있는 수
여기서 ‘의미가 있다’는 말이 중요한데, 365는 ‘한 해의 날짜 수’라는 의미가 있는 반면 365+1이나 365 제곱 등은 의미가 없듯이, 그레이엄수는 ‘초 입방체의 색칠문제에 관한 상한 값’이라는 의미가 있는 반면 그레이엄수+1이나 그레이엄수 제곱 등은 의미가 없습니다.
이 기준을 따르면 단순히 큰 수를 나타내보고자 만든 수인 구골과 구골플렉스는 제외되어야하나, 두 수는 구글과 더불어 사전(공인된)에 등록된 만큼 유명한 수이기 때문에 포함했습니다. 반대로 수학적인 의미도 없고 사전에 등록되어 있지도 않은 구골플렉시안 이후의 수들과 모저수(moser's number)는 제외했으며, 개인이 임의로 정의한 표기법을 사용한 수 등도 제외했습니다(e.g., meameamealokkapoowa).
목록에 있는 몇몇 수는 수학적 의미는 없으나 나중에 나올 거대 수의 크기를 짐작하기 위한 보조의 용도로 기록 했습니다(e.g., f(n)).
2. 값이 명확한 수
불교에서의 ‘겁’과 같은 단위는 분명 엄청나게 큰 수임은 분명하나, 그 수를 명확하게 헤아릴 수 없으므로 제외했습니다(헤아린다 해도 구골 선에서 정리될 듯 보입니다.).
값을 여러 개로 나타낼 수 있는 수는 모두 기록하거나(e.g., 나유타, 스큐스수) 일반적으로 우세한 값을 따라 기록했습니다(e.g., 무량대수).
인터넷에서 큰 수를 검색하면 큐머드R, 샤미스피헬리오제논, 그레이트인피니티넘버X메탈제논 같은 출처가 불분명하고 표현식도 불분명한 손가락 오그라들게 만드는 수(?)들이 떠돌아다니는데, 역시 제외했습니다. 오픈사전에 등록된 내용은 정식 사전의 내용이 아니고 아무나 적을 수 있는 내용이므로 제외합니다.
표 후반부에 나오는 그레이엄수와 관련된 수식들을 이해하려면 다음의 초 연산(Hyper Operation)과 이를 이용한 몇몇 정의에 대해 알아두어야 합니다.
우리가 쓰는(동양에서) 수의 단위는 무량대수까지가 끝입니다. 그 이후의 수들은 단위가 아니라 특정 수치를 나타낸 값입니다. 1번에서 말한 내용을 다시 예를 들어, 표에 있는 메르센 소수 뒤에 0을 몇 개 더 붙이면, 이것은 단위도 아니고 더 이상 소수도 아닌 의미 없는 수가 됩니다.
f(3)부터는 곱셈, 지수, 팩토리얼 등의 일반적인 수식으로 표현할 수 없습니다. 테트레이션 이상의 고차원 연산을 사용하지 않고는 글로 적을 수 없다는 얘기입니다. 이 크기가 실감이 나지 않는 분들을 위해 간단한 동화(?)를 써보았습니다.
어떤 바보가 자신이 f(3)보다 큰 수를 써 보이겠다며 1뒤에 0을 적어나가기 시작했습니다. 하지만 얼마 뒤 손으로 쓰는 건 너무 느리다는 걸 깨달은 바보는 컴퓨터를 이용하기로 했습니다. 바보가 키보드의 0을 누르고 있은 지 한 시간이 지났습니다. 하지만 그 수는 f(3)은커녕 구골플렉스에 비해서도 한없이 작았습니다. 하루가 지나고, 한 달이 지나고, 일 년이 지났지만 여전히 그 수는 구골플렉스보다 작았습니다. 그 바보는 오기가 생겨 죽을 때까지 0을 눌렀습니다. 하지만 그 수 또한 구골플렉스보다 작았습니다.
그 바보의 바보아들은 아버지의 숙원을 이루고자 이 도전에 뛰어들었습니다. 아들은 0을 누르고 있는 것보다 복사ㆍ붙여넣기가 훨씬 더 빠르다는 것을 깨달았습니다. 0을 복사한 다음 열 번 붙여 넣고, 모두 선택한 다음 복사하고 다시 열 번 붙여 넣고, ... 이렇게 한 시간 동안 키보드 질을 한 아들은 기대에 부풀었습니다. 그 수는 과연 아버지가 평생 동안 쓴 수보다 컸고, 구골플렉스보다도 컸지만, 여전히 f(3)은커녕 스큐스수보다도 훨씬 작았습니다. 그렇지만 바보는 구골플렉스를 넘었으니 조금만 더 하면 스큐스수는 뛰어 넘을 수 있을 거라고 생각했습니다. 하지만 하루가 지나고, 한 달이 지나고, 일 년이 지났지만 여전히 그 수는 스큐스수보다 작았습니다. 그 바보아들은 바보의 아들답게 오기가 생겨 죽을 때까지 복사ㆍ붙여넣기를 했습니다. 하지만 그 수 또한 스큐스수보다 작았습니다.
그 바보아들의 바보아들. 즉, 바보의 바보손자는 아버지처럼 할아버지의 숙원을 이루기 위해 이 도전에 뛰어들었습니다. 손자는 이 일은 혼자 할 수 있는 일이 아님을 깨닫고 전 바보세계 사람들에게 이 일에 동참해주기를 부탁했습니다. 손자의 딱한 사정을 들은 바보사람들은 이에 응했고 일제히 복사ㆍ붙여넣기를 하기 시작했습니다. 하지만 하루가 지나고, 한 달이 지나고, 일 년이 지나도 여전히 그 수는 스큐스수보다 작았습니다. 누가 바보 아니랄까봐 역시 오기가 생긴 바보사람들은 바보아들처럼 죽을 때까지 복사ㆍ붙여넣기를 했습니다. 하지만 바보세계 사람들이 죽을 때까지 복사ㆍ붙여넣기한 0을 모두 모아 만든 수 또한 스큐스수보다 작았습니다.
전 바보세계 연맹은 이 일을 인류의 과제로 선포, 이 일을 다음세대로 전수하여 완수하기로 했습니다. 하지만 다음세대에서도 스큐스수보다 큰 수는 나오지 않았습니다. 그렇게 2세대가 지나고, 3세대가 지나고, ... 1억 7천만 세대에서 바통을 넘겨받을 즈음, 태양이 수명을 다해 폭발했습니다. 바보라서 다른 행성으로 이주할 기술이 없었던 바보세계 사람들은 멸망했고, 여전히 그 수는 스큐스수보다 작았습니다.
천국에서 이 과정을 모두 지켜본 오리지널 바보는 크게 실망했습니다. 하지만 그 바보 같은 일을 모든 평행우주의 바보사람들이 하고 있었습니다. 바보는 꿈을 꾸었습니다. 꿈속에서 바보는 모든 우주의 0을 하나로 합쳤습니다. 오오! 드디어 스큐스수보다 큰 수를 만들었습니다. 하지만 그 수는 f(3)에 비해서는 너무나 작았습니다. 너무나, 너무나 작았습니다...
한편 옆집에 살던 똑똑이는 테트레이션을 이용하여 단 3개의 3으로 f(3)을 적고 놀러나갔습니다.
이정도로 어마어마하게 큰 수인 f(3)이지만, f(4)에 비하면 없는 것과 같습니다. 하지만 제일 큰 수인 그레이엄수는 f(3)도 아니고, f(4)도 아니고, f(1억)도 아닙니다. 그레이엄수는 아직 시작도 안 했습니다.
표에서처럼 함수 f(n)에서 n이 늘어날 때마다 수의 표현의 차원이 한 단계 증가합니다. 그런데 그레이엄수는 너무 무지막지하게 커서 ‘그레이엄수를 나타내는데 몇 차원의 표현이 필요한가.’조차 표현이 불가능합니다. 즉, f(n)에서 n이 얼마인지조차 표현이 안 된다는 말입니다. 그래서 그 차원(n)의 크기를 나타내는 수의 차원이 얼마인지 구해야하는데, 그 차원을 나타내는 수의 차원조차도 표현이 불가능합니다.
이렇게 재귀적으로 ‘수의 표현의 (차원의)64 수가 4인 수’가 그레이엄수가 되는데, 좀 더 정확히 써보면 ‘(3과 3의 연산의 차원을 나타내는)64 수가 4인 수’가 그레이엄수입니다.
작성일 : 15-06-20 00:33
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